Nun ... immer Ruhe bewahren und systematisch rangehen.
Eine defekte Benzinpumpe ist mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auszuschließen. Da gebe ich Lukas Recht. Entweder der Elektromotor der Pumpe dreht wenn Strom an (dann ist sie gut) oder er dreht nicht (dann ist sie kaputt). Ein "MG" ("mal geht's") ist bei solch einem primitiven Ding so gut wie ausgeschlossen.
Ein "MG" ist im Vorfeld der Pumpe zu erwarten. Deshalb mein oben vorgeschlagener Versuchsaufbau, um den Stromfluss nachvollziehen zu können. Ich vermute das "MG" nämlich in der vorgeschalteten Elektrik.
Betrachten wir mal den elektrischen Schaltplan der K-Jetronic,
so blicken wir auf zwei typische "MG", die miteinander verknüpft sind, nämlich
das Kraftstoffpumpenrelais (Pos. 5) mit der BMW ETK-Nr. 12 63 1 277 245 und das Relais K-Jetronic (Pos. 7, auch "Diodenrelais" oder - wie im Schaltplan oben "Sicherheitsschaltrelais" benannt) mit der BMW ETK-Nr. 13 63 1 276 264.
Beide können der Urheber für die Störung sein - ich sage mal, dass wir hier mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit den Schuldigen finden. Außer Lukas hat einen 323i vor 08/1978. Dann käme als Schuldiger noch ein Massekontaktschalter am Gemischregler hinzu, der aber ab 08/1978 entfallen ist.
Man kann natürlich auch einfach mal zwei neue Relais kaufen und einstöpseln.
Das Relais K-Jetronic ist weder bei BMW noch bei Bosch lieferbar, aber inzwischen sollte hier bekannt sein, dass Herth+Buss unter der Nummer 75613154 das Relais für schmalen Taler liefert (ca. 12 Euro)
Anders sieht es beim Kraftstoffpumpenrelais aus: das ist schockierend teuer! BMW kann liefern für ca. 160,- €
Bosch führt das Relais in seinen Übersichten seltsamerweise gar nicht. Ein Original Erstausrüster-Relais von Siemens/Hella ist gerade als NOS in der Bucht für 105,- Euro.
Alternativ kann man es in neu wieder mal beziehen von Herth+Kluss unter der Teilenummer 75614118 bei den gängigen Online-Teilehändlern für 106,- bis 140,- Euro.
Der Neugier zuliebe würde ich erstmal den Versuchsaufbau zum Prüfen installieren. Ist es so wie ich vermute, bleibt bei bestimmten Temperaturen vorne einfach der Strom für die Pumpe weg. Ausfälle bei bestimmten Temperaturen sprechen durchaus für verschlissene Relais. Wer sich mit Elektrik auskennt, kann dann anhand des Schaltplans mit gezieltem Brücken von Kontakten das schuldige Relais herausfiltern. Aber Vorsicht ist geboten! Wenn man dabei aus Versehen den falschen Kontakt berührt, jagt man die Transistorzündung ins Jenseits ...
Leute wie ich handeln nach dem Motto: "Keep it fucking simple!", setzen zwei neue Relais ein und hoffen, dass alles wieder gut ist.